L'enjeu était de déterminer quelles seraient les dimensions et les angles nécessaires à la réalisation d'un motif répétable pour notre balustrade. Pour réaliser celle-ci, nous devions répéter 5 fois un motif de 47x 80 cm + 2 montants intermédiaires de 2 cm, entre une base au sol et un garde-corps sur toute la longueur entre un poteau et un comptoir. Pour que la balustrade laisse passer la lumière, nous voulions utiliser des lattes de frêne de 2 cm de large pour 5 mm d'épaisseur. Les lattes sont contraintes d'épouser la courbe voulue par leur inscription dans des fentes inclinées. La longueur des lattes doit être déterminée précisément pour imposer une certaine tension.
La solution a été trouvée par tâtonnement puis confirmée par des simulations préalables. La solution géométrique exacte a été trouvée après coup.
Les termes du problème et la solution retenue.
Nous savions que nous voulions réaliser un motif constitué de courbes. Mais comment cintrer les lattes convenablement ? La solution la plus simple est d'exercer une force sur les extrémités des lattes. Si les lattes ont une épaisseur constante et un grain régulier, on réalise alors des arcs de cercle. En contraignant les lattes à l'intérieur d'un cadre rigide, ça devrait marcher.
Ensuite, le motif requiert que certaines lattes soient tangentielles aux bords du cadre pour former un bouquet. Elles se regroupent en faisceau au bas, puis s'ouvrent en bouquet, ou inversement dans l'espace compris entre les faisceaux.
Si on imagine le cercle complet dans lequel chaque arc est inscrit, on imagine alors que le centre de chacun de ces cercles se trouve sur une même ligne horizontale, à la base de la balustrade. On a donc trois points dont la position est connue, dont un se situant sous la balustrade en image miroir. Trois points (non colinéaires), c'est ce qu'il faut pour déterminer le rayon et la position de nos cercles.
Solution géométrique.
(Requiert du papier, un crayon, un compas et une équerre).
- Décidez de la taille du motif devant se répéter. Ici un cadre rectangulaire aux dimensions (h,v) commençant au point O.
- Posez un point P à (h,0). Ce sera l'endroit d'où partiront les lattes.
- La première latte sera inscrite dans la diagonale du rectangle.
- Décidez à quel endroit du haut du cadre sera inscrite la première latte courbe.
4 a) Nous avons décidé de le mettre au premier tiers supérieur (h/3,v) (point Q).
4 b) Posez un point R miroir du point Q. Il sera à (h/3,-v). Il sert à forcer la latte courbe à être tangentielle au point P.
4 c) Tracez des perpendiculaires aux lignes PQ et PR. Elles se rencontreront au point S. Ceci détermine le diamètre du cercle.
4 d) Vous trouverez le centre du cercle (C) au milieu du segment SP.
4 e). L'arc parcouru par la première latte courbe sera déterminé par l'angle PCQ. On peut ainsi connaître sa longueur.
4 f). Pour contraindre la latte à suivre la courbe voulue, il suffit de faire une incision tangentielle au points P et Q dans le cadre. (L'angle = 90-PCQ).
5 répétez l'opération 4 si désiré, dans notre cas ce sera au second tiers (2h/3,v).
6 répétez les étapes 4 et 5 mais en retournant le panneau pour remplir la section du bas présentement vide.
7 reprenez l'opération en miroir dans un nouveau cadre pour faire la partie droite du motif.
Les maths du collège peuvent donc servir à quelque chose, même 45 ans plus tard. On peut alors déterminer à l'avance la longueur des arcs et l'angle des insertions selon la taille et les proportions du motif choisi.
Pour ceux et celles qui sont intéressés, je peux envoyer un programme Openscad qui modélise le résultat (et calcule les dimensions).
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