Cette note décrit un procédé (de nature analogique) capable de générer des figures harmonieuses susceptibles d’être gravées (par des méthodes analogiques ou digitales) dans du bois afin de réaliser des panneaux décoratifs.
La méthode se laisserait simplement décrire par deux lignes de mathématique mais je renonce à commencer par cette approche.
Les impatients (ainsi que ceux qui savent déjà tout) sautent tout ce texte pour aller programmer leur outils et graver de belles arabesques.
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Il était une fois un pendule
Imaginons tout d’abord un pendule, par exemple celui du devin ou plutôt celui d’une horloge Normande. Admettons que ce pendule se balance sans frottement.
Deux paramètres suffisent pour décrire ce mouvement, l’intervalle de temps que met la base du pendule à faire un aller et retour complet, et l’amplitude de ce mouvement. L’intervalle de temps se nomme aussi période (nous utiliserons T).
Si on s’intéresse à visualiser ce mouvement sur une feuille de papier on choisira de faire un graphique. L’abscisse (généralement horizontale) décrit le temps qui s’écoule et l’ordonnée (généralement à angle droit par rapport à l’abscisse) décrit l’écart par rapport à la position au repos.
Ci-dessous, la représentation de trois pendules;
- un pendule de période T, amplitude entre -1 et 1
- le même dont l’amplitude de balancier est 2x plus grande, de -2 à 2
- un troisième qui se balance plus rapidement (oscillations plus rapprochées) et dont l’amplitude est plus petite que celle les deux autres, de -0.5 à 0.5
Il nous faut à présent deux pendules indépendant qui se laissent manipuler. Pour chaque pendule on peut choisir une période et une amplitude.
Jouons avec deux pendules
Représentons sur un autre graphique deux pendules (pour commencer identiques) et supprimons la variable temps. Il s’agit de représenter l’amplitude de balancier du pendule 1 en fonction de l’amplitude du pendule 2 et de créer un nouveau graphique. La première image ci-dessous montre le pendule 1 et 2.
Afin d’effectuer cette opération pointez sur n’importe quelle valeur d’abscisse et mesurez les valeurs d’ordonnées correspondantes et les reporter sur le nouveau graphe. Dans cet exemple le nouveau dessin donne une information immédiate, les deux pendules sont synchrones; amplitude 1 dessiné en fonction de amplitude 2 montrent une droite.
L’intérêt de cette représentation est que le « temps » a été escamoté.
Toute cette diatribe pour une droite me direz-vous ? La question est légitime. L’intérêt d’escamoter la variable « temps » apparaît lorsque les deux pendules sont différents, voire décalés.
Dans la série de graphiques suivants, quelques exemples d’arabesques obtenues avec des couples de pendules différents.
Informations générales
La description ci-dessus est une tentative de vulgariser ce qu’il est convenu d’appeler les figures de Bowditch et Lissajou, deux érudits du 19er qui ont étudiés ces courbes.
Il s’agit dans le fond de considérer
amplitude 1: A sin (n X)
amplitude 2: B sin (m X + phi)
X est la variable « temps » dont on se débarrasse puisque on dessinera amplitude 1 en fonction de amplitude 2.
A est une amplitude maximale (par exemple la largeur)
B est une amplitude maximale (par exemple la hauteur)
n, m sont les « périodes » des deux pendules
phi représente un déphasage
Je conseille de travailler en radians, mais de le faire en degrés n’est pas interdit.
En électrotechnique, le phénomène était utilisé afin de déterminer simplement si deux signaux de même fréquence étaient en phase (droite) ou non (déviation par rapport à la droite) à l’aide d’un oscilloscope auquel le balayage de temps est désactivé.
En technique des senseurs, des détecteurs de positions robustes utilisent la mesure du déphasage afin de délivrer une information sur la position d’un axe.
Il y a d’autres applications que le format de cette note ne permet pas d’évoquer.
Le pendule de Foucault et une variation du principe de couplage d’un mouvement harmonique sur deux axes. C’est un pendule « normal » dont la longueur de bras est longue et dont la pointe « grave dans le sable » sa trace. Il y a donc des frottements. La rotation de la terre induit une force qui fait, lentement, dévier le pendule et provoque dans le sable une image bien plus intéressante que la simple traînée droite formée par la pointe du pendule oscillant de droite à gauche.
Et si on couple - à des fins d’usinage décoratif - un outil de coupe à deux axes commandés (analogique ou numérique) selon le principe brièvement évoqué ci-dessus, il est possible de créer de magnifiques arabesques.
La taille de la pièce à obtenir est un simple facteur introduit en multiplicateur sur les axes, A et B ci-dessus.
Les personnes intéressées peuvent « jouer » avec un simple tableur (ou tout autre outil) et calculer des « amplitudes 1 » ensuite des « amplitudes 2 » avec quelques différences, jusqu’à obtenir une arabesque qui convient. La visualisation apparaît lorsque les nombres de « amplitude 1 » obtenus sont représentés en fonction des nombres « amplitudes 2 ».
Si quelqu’un souhaite un fichier « machine » (G-code) pour une arabesque particulière, je me ferai un plaisir de le générer (gratuitement).
Les plus engagés recyclent des pignons et des chaînes de vélos et construisent un cadre « XY » capable de bouger et emporter une défonceuse à laquelle on aura monté une fraise en « V ». Le rapport entre le mouvement d’un axe par rapport à l’autre sera determinant.
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