CALCULATE Plus précisément, pour un plancher dans une maison, avec une poutre centrale de 4 m de portée, 250 mm de large, 300 mm de hauteur, on peut montrer que les formules d'euler bernouilli suffisent amplement, et qu'il n'est pas nécessaire d'utiliser des formalisation plus sophistiquées.
Pour démontrer mathématiquement que le modèle d'Euler-Bernoulli est pleinement justifié ici, nous devons analyser le ratio d'élancement de la poutre et quantifier l'erreur commise sur l'endomorphisme de rigidité si l'on néglige le cisaillement (ce que fait Euler-Bernoulli, contrairement à Timoshenko).
Dans le formalisme de Timoshenko, l'endomorphisme de rigidité intègre l'énergie de flexion et l'énergie de cisaillement. Pour une poutre sur deux appuis, le déplacement maximal au centre intègre ces deux contributions.
- Les données géométriques
Portée (L) : 4000 mm
Hauteur (h) : 300 mm
Largeur (b) : 250mm (bien que la largeur n'influence pas le ratio d'élancement critique).
Le moment quadratique de la section rectangulaire est I = b h^/12 et son aire est A = b h.
2 Le critère mathématique de transition (Timoshenko vs Euler-Bernoulli)
Le déplacement total au centre d'une poutre sous charge répartie (cas classique d'un plancher) selon le modèle complet de Timoshenko s'écrit comme une perturbation de la solution d'Euler-Bernoulli :
w total = w Euler-Bernoulli . (1 + Phi )
Où Phi est un coefficient adimensionnel qui mesure l'apport du cisaillement (l'erreur commise si on l'ignore). Pour une section rectangulaire, ce coefficient vaut :
Phi = 24 (1 + nu) kappa/5} . (h/L}^2 :
Avec
nu le coefficient de Poisson du matériau (environ 0,2 à 0,3 pour du bois ou du béton). Prenons nu = 0,3 (cas le plus pénalisant).
kappa : le facteur de correction de cisaillement pour une section rectangulaire, égal à 6/5 = 1,2.
- Calcul de la perturbation Phi
Calculons le ratio d'élancement géométrique h/L :300/4000 = 0,075
Injectons cette valeur dans le calcul de la perturbation Phi :
Phi = 24 (1 + 0,3) 1,2/5 .0,075)^2
Phi = 7,488 . 0,005625 = 0,0421
Ce qui signifie que le cisaillement ne contribue qu'à hauteur de 4,2% dans la déformée globale et dans la modification des composantes de l'endomorphisme de rigidité.
Conclusion de la démonstration
En ingénierie des structures et en calcul de plancher, on considère qu'un modèle sophistiqué (comme Timoshenko) devient nécessaire lorsque le cisaillement représente plus de 10% de la déformée, ce qui arrive dès que le ratio L/h devient inférieur à 5 ou 6 (poutres très courtes et très hautes).
Ici, le ratio d'élancement est de : L/h} = 4000 / 300 = 13,3
Avec un élancement supérieur à 13, l'action qualitative de la géométrie sur l'endomorphisme est négligeable (l'erreur est de l'ordre de 4%).
L'espace vectoriel d'Euler-Bernoulli, qui ignore le degré de liberté de rotation induit par le cisaillement, est donc mathématiquement stable, précis et amplement suffisant pour dimensionner ce plancher en toute sécurité.
Et de ce fait, on peut dire en langage de tous les jours, et en utilisant les formules d'Euler Bernouilli, que si on passe de 250 mm à 300 mm de hauteur pour la poutre, toutes choses égales par ailleurs, on double la rigidité de la poutre ( 300^3 / 250^3 ).
Erebor Les chiffres viennent d'un article de wikipédia. On ne sait pas qui a mis ces chiffres, qui correspondent à la série x3, X5, x15, c'est tout. Il ne semble même pas que ces chiffres aient été communiqués par la société du fabricant.
Il est fort possible que tout cela soit une légende urbaine qui s'est mise à tourner en rond.
Ce qu'il faudrait, c'est que Pimpin nous communique les vraies mesures qu'il a pu prendre, plutôt que de recopier des chiffres qu'il a pris un peu partout...
En épaisseur et en largeur, il est bien sur possible qu'il y ait des écarts, du à l'hygrométrie. En longueur, ce serait plus étonnant.
Merci Pimpin pour les mesures. L'écart de 7 mm en longueur est en effet étonnant...
Une chose importante...
La réduction en volume, d'après les mesures de Pimpin est de l'ordre de 5%.
Voyons si la réduction avait un motif économique (économiser sur le cout du bois):
Le chiffre d'affaires des kapla est de 8 millions d'euros par an (vu sur le web), Supposons que le cout du bois, c'est 10 % du prix de vente (au grand maximum...). Dans ce cas, 5% de 10% de 8 millions, cela fait 40 000 € par an. Le jeu n'en vaut pas vraiment la chandelle. Le motif n'est donc pas économique...
Ismael J'ai tous les détails des calculs et les hypothèses, si tu veux.
le nom de cette huile magique ?
J'ai demandé des devis à mes 3 IA préférées, en reprenant les éléments.
Matières fournitures / Main d'oeuvre / total
4200 / 9800 / 14 000 HT (Gemini)
3800 / 9200 / 13 000 HT (chatgpt)
4500 / 14500 / 19 000 HT (Mistral)
Ce qui est intéressant, c'est que cela reprend à peu près le ratio 700/300 donné par 6LV1
Biautifoulle!! Avec de vraies tuiles bourguignonnes anciennes... Cela devient rare...
Et tout cela sur des blocs de pierre, sans les effroyables tiges métalliques qui l'on voit partout...
J'ai un hangar en bois, d'une centaine d'année, 5m x 6 m, toit en tuiles. Les montants sont simplement posés sur des dés en béton. Ils n'ont jamais bougé.
Les temples japonais sont simplement posés sur des dès en pierre, depuis parfois 1000 ans. Même avec les typhons, ils ne s'envolent pas... Bien évidemment, tout dépend du poids...
Très très beau!
(et surtout, n'hésite pas à partager!!)
Très belle!
Excellentissime ! J'adore le fait d'avoir laissé la partie ancienne, sans la modifier, et le contraste avec la partie neuve! Esthétiquement, c'est parfait!
Voila une restauration comme je les aime.
Chopa Justement, plutôt que d'essayer de copier les essences et les teintes pour faire semblant que c'est pareil, cela peut être intéressant de faire un gros contraste.
Superbe! La texture est bluffante...
Très belle boite!
J'ai vu sur instagram, tu fais de bien belles choses.
Mathismichl D'un coté, les tasseaux sont supportés par les montants verticaux. De l'autre coté, avec l'équerre, vissée dans le montant vertical, cela devrait aller.
non, ce sont des montants en bois qui contre le placo, ils sont vissés dans le placo, sous les tasseaux horizontaux et le plateau.
Rico29 Pour le voir en fonctionnement, il faut venir observer avec ses yeux. Ce genre de télescope peut faire des photos, certes, mais ce n'est pas vraiment l'intérêt ( les petits télescopes amateurs permettent de faire de très belles photos). Ici, on est sur du visuel, des photons qui arrivent directement sur la rétine. Rien à voir avec les photos. On est ici chez les "poètes".
Par contre, avec ce genre de grand diamètre, on peut voir plein de galaxies situées à plus de 50 ou 100 millions d'années lumières, des couleurs sur de belles nébuleuses, des détails sur les bandes de Jupiter, etc, etc...
Nairod Non, le ELT!
Erebor L'oculaire, est à 2,5m. Il faut donc un escabeau.
Camera, on peut le faire. Mais ce n'est pas trop l'intérêt. Ce genre de grand télescope sert à récolter des photos qui arrivent directement sur la rétine après avoir voyagé pendant des millions d'années. C'est ça la poésie du truc...
sylvainlefrancomtois En 15 ans et 250 télescopes, j'ai eu le temps d'expérimenter pas mal de choses...
Il reste des choses qui ne changent pas:
- Une base sur lequel l'ensemble pivote,
- Une structure triangulée pour la rigidité (8 ou 6 tubes),
- deux bananes qui permettent d'incliner la structure.
Ensuite, tout est possible...
sylvainlefrancomtois J'ai fait des télescopes en cp plein, alvéolés, polystyrène + cp très fin, fibre de verre+ kevlar, impression 3D... J'ai un peu tout expérimenté en terme de matières.
Vernis marine, vernis pour parquets, laques de carosserie.
je voudrais en faire en impression 3D résine/bois.
En regardant les sièges auto pour mes petits enfants, je me dis qu'il faudrait en faire tout simplement en plastique injecté très rigide. Mais les moules coutent bien trop cher pour une production limitée.
mmahieu IL y a 4 pieds réglables en hauteur, qui permettent de soulever l'ensemble et de désolidariser les roues. Sinon, en effet, ce ne serait pas stable.
La structure coûte 11 000 € (dont 8 tubes carbone à 3000 €, un porte oculaire à 1500 €), et le miroir coûte 15 000 €. Les artisans opticiens capables de réaliser des grands miroirs de cette taille (et de qualité) se comptent sur les doigts d'une main dans le monde entier.
LeCongreDebout C'est le prix d'une petite voiture... Certains clients préfèrent acheter une bagnole d'occase à 2000 balles et mettre le reste dans un grand télescope. Ou ne pas partir en vacances aux Maldives. C'est un choix de vie.
Pour la structure, c'est surtout de l'assemblage d'éléments qui individuellement coûtent énormément chers. Personnellement, ma marge sur l'ensemble est faible.
De même, la réalisation du miroir est un truc extrêmement sensible. La précision demandée est de ouf. Les manipulations sont dangereuses. Une rayure sur la surface, c'est 15 jours de travail supplémentaire, etc, etc... Le type bosse dans son garage, et il y a plusieurs mois de travail sur ce genre de choses.
D'où le prix.
AvecUnBoutDeBois Sur les photos, la motorisation n'est pas encore installée.
Pour le positionnement, il y a des 2 encodeurs (comme des codes barres), qui déterminent les angles de pointage, après avoir fait 3 pointages de référence par triangulation.
Ces encodeurs donnent la position, transmise à un boitier électronique, qui pilote les moteurs. Cela permet de trouver une cible, un objet dans le ciel, et de faire le suivi (la terre tourne, donc, les objects se déplacent dans le ciel, comme le soleil pendant le jour).
C'est très précis.
Sur celui-ci, un 600 mm, on voit les moteurs et les encodeurs, sur certaines photos:
Récemment a été développé un autre système: une caméra photographie la portion du ciel où pointe le télescope. Un logiciel de "plate solving" (reconnaissance des objets) détermine où pointe le télescope, et liée à une base de donnée des objets du ciel, indique aux moteurs quels sont les mouvements à faire pour faire le pointage, puis le suivi.
C'est beaucoup plus simple, plus d'encodeurs, plus de cables dans tous les sens, plus de pointage de référence, avec un suivi en réel beaucoup plus précis.
RiGy Le miroir primaire est à F/D 3 (focale de 2,1m).
La structure est sur roulements. Donc, les mouvements sont très fluides. Quand c'est équilibré, il se pilote du bout des doigts. Il faut même des freins, sinon, cela part dans tous les sens.
La motorisation n'est de ce fait pas indispensable. Mais de nos jours, les gens ont besoins d'électronique, de trucs qui leur permettent de se rassurer. Et ils ne connaissent plus leur ciel. Il leur fait des machins sur leurs téléphones pour les aider...
Avec une motorisation, pas besoin de table équatoriale. Par contre, pour de la photo, il faudra un dérotateur de champ.
La jupe de protection anti-lumières parasite est bien sur prévue.
P1ng Le miroir primaire pèse 50 kg.
mmahieu Oui, bien sur, les 8 tubes coûtent 3000 €.
Toutenbois Merci! Bien que ce type de télescope dit "dobson" ne soit pas le plus approprié pour faire de l'astrophotographie, avec la motorisation, c'est cependant possible. Ceci dit, c'est quand même plus compliqué qu'avec un plus petit télescope.
Ces grands télescopes sont surtout consacrés à l'observation visuelle. C'est le plaisir de recevoir dans l'oeil des photons qui ont mis des millions d'années pour arriver jusqu'à nous. Personnellement, je ne pratique pas l'astrophotographie.
Plus le diamètre est grand, plus le nombre de photons récolté est grand, et donc, mieux on voit de détails.
On peut voir de beaux détails sur les planètes, les volutes dans les bandes de Jupiter, les différences dans les anneaux de Saturne, de belles nébuleuses gazeuses, et plus le diamètre est grand, mieux on peut voir les couleurs. Et plein de galaxises, les spirales dans les plus grandes, et des amas de galaxies (plein de petites taches dans l'oculaire), qui sont à 300 millions d'années lumière...
Bien sur, cela n'a pas l'aspect des photos de Hubble ou du James Web...
Si je ne pratique pas l'astrophoto, je fais par contre des dessins, à partir des observations visuelles.
Ara Oui, cela fait longtemps que je me dis que je devrais me lancer dans le mobilier de jardin...
LeCongreDebout Merci! 
Toutenbois Viens quand tu veux, ce sera un grand plaisir de t'accueillir! A 50 km à l'ouest de Châlon sur saone.
Ara 
Mais c'est une excellente idée!!
GuiGuidesvolcans Merci!!!
Lars Merci! Le telescope est parti chez le client depuis longtemps, dans le sud de la France. Les optiques ont été réalisées par un artisan français connu. Une superbe optique, de très grande qualité. La formule optique est celle d'un newton, avec un miroir primaire parabolique, et un miroir secondaire plan. Le prix total, c'est plusieurs dizaines de milliers d'euros. Mais quand on a la passion, on ne compte pas...
Lars Un miroir toroidal, cela doit être assez spécial... Et tu avais réussi à faire quelque chose ?
Le style "moderne sage" faisait un bon contraste avec le coté "antiquaire" du reste. Cela faisait plutôt chic, je trouve.
Mais peut-être qu'ils sont plus "antiquaille" qu'"antiquaire"... De toute façon, tu as été payé, et tu peux refourguer la table pour une autre fois...
Très intéressant, ton activité!
CALCULATE
C’est une excellente question, qui touche au cœur de la modélisation mathématique en mécanique des structures.
Pour y répondre proprement, il faut d'abord démêler ce qui relève de la physique (l'augmentation des dimensions) et ce qui relève du modèle mathématique (l'espace vectoriel et l'endomorphisme de rigidité).
Le cœur du problème réside dans un paradoxe apparent : comment une modification géométrique réelle (3D) peut-elle agir sur un opérateur défini dans un espace de dimension finie ?
Voici l'explication mécanique et mathématique de ce phénomène.
Quand on dit qu'en Hypothèse des Petites Perturbations (HPP) la structure est dans un "espace vectoriel complexe fini", on fait référence à l'espace des degrés de liberté (d d l) après discrétisation (généralement par la méthode des éléments finis, MEF).
Si votre poutre est modélisée par N nœuds avec d degrés de liberté par nœud, l'espace vectoriel V est de dimension n = N x d.
L'endomorphisme de rigidité (ou matrice de rigidité) K est bien un opérateur linéaire de V dans V (ou de V dans son dual). Le passage au corps des complexes {C} est classique pour l'analyse vibratoire ou harmonique (impédance mécanique).
L'infini des "hypothèses" et des "modèles" (Euler-Bernoulli, Timoshenko, Vlasov pour la torsion gauchie, etc.) vient du fait qu'une poutre est un objet tridimensionnel que l'on cherche à projeter sur une ligne moyenne unidimensionnelle. Lorsque vous augmentez les dimensions de la poutre (longueur L, largeur b, hauteur h), vous agissez sur l'endomorphisme de rigidité de deux manières distinctes:
A. L'action quantitative (Modification des coefficients)
Dans n'importe quel modèle choisi, les coefficients de l'endomorphisme de rigidité K dépendent directement des caractéristiques géométriques de la section (aire A, moments quadratiques I_y, I_z, constante de torsion J) et de la longueur L.
Par exemple, pour un terme de rigidité en flexion simple (modèle d'Euler-Bernoulli), le coefficient est proportionnel à E x I /L^3. Si vous augmentez la hauteur h d'une poutre rectangulaire, I = b h^3/12 augmente de façon cubique. L'endomorphisme K change de "norme" : ses valeurs propres (liées aux pulsations propres de la structure) se déplacent vers les hautes fréquences dans le plan complexe. La géométrie dicte la valeur des scalaires de l'opérateur.
B. L'action qualitative (Invalidation de l'endomorphisme choisi)
C'est ici que votre remarque sur les "quinzaines de variantes" prend tout son sens. En augmentant les dimensions d'une poutre, vous risquez de changer la validité des hypothèses cinématiques qui ont servi à construire votre endomorphisme. Si vous augmentez la section (b, h) par rapport à la longueur L): Le ratio d'élancement L/h diminue. La poutre devient "courte" ou "épaisse". L'hypothèse d'Euler-Bernoulli (les sections restent perpendiculaires à la fibre moyenne) s'effondre car le cisaillement devient prépondérant. Vous devez changer d'endomorphisme et passer à celui de Timoshenko.
Si vous augmentez massivement la longueur L: Les risques d'instabilité géométrique (flambement, déversement) augmentent. Même en HPP (qui suppose de petites déformations), l'analyse linéaire classique peut devenir insuffisante pour capturer le comportement réel, et il faut introduire une matrice de rigidité géométrique (matrice de contraintes initiales K_g), qui modifie l'endomorphisme total K{tot} = K_e + K_g.
Si les parois deviennent minces : L'endomorphisme doit intégrer le gauchissement de la section (modèle de Vlasov), ajoutant un degré de liberté de gauchissement par nœud.
En résumé : Comment agit-on sur l'endomorphisme ? En augmentant les dimensions dans l'espace physique, vous agissez sur l'endomorphisme dans le corps {C à deux niveaux :
À modèle fixé (statique mathématique) : Vous modifiez de manière continue les composantes de la matrice de l'endomorphisme, ce qui déplace ses valeurs propres dans le plan complexe.
À modèle glissant (réalité physique) : Vous modifiez les frontières de validité de l'opérateur lui-même. Augmenter les dimensions force le physicien à abandonner un endomorphisme de dimension n pour un autre endomorphisme (mieux physique) de dimension n ou avec des couplages différents, pour que la projection de la réalité 3D dans l'espace vectoriel choisi reste mathématiquement rigoureuse.