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Kentaro

Calcul des angles dièdres pour une pyramide

Calcul des angles dièdres pour une pyramide

Déterminer les angles dièdres (angles entre les faces d'une pyramide) peut se faire par le dessin (épure). Mais on peut également les déterminer de manière très précise par le calcul.

On peut le faire grâce à la trigonométrie, mais c'est un peu compliqué. Il existe également une méthode assez puissante, du niveau terminale (c'était au moins le cas il y a longtemps...).

Elle est surtout généralisable au calcul de l'angle dièdre entre deux plans quelconques.

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Calcul

Pour cela, on définit 4 points: A, B , C qui sont les sommets de la pyramide "au sol", et D, qui est le sommet, définis par leurs coordonnées cartésiennes.

On calcule les coordonnées des vecteurs DA, DB, DC.

On calcule ensuite les deux vecteurs normaux N1 et N2 (orthogonaux) à (DA, DB), et (DA,DC).

N1 est égal au produit vectoriel de DA et DB, et N2 au produit vectoriel de DA et DC.

Il ne reste plus qu'à calculer l'angle entre N1 et N2, définit par:

cos a = N1 . N2 / norme N1 x norme N2. (N1.N2 est un produit scalaire)

J'ai mis les formules sur un tableur, et j'ai calculé les angles, pour une valeur de 1 pour la mesure du coté de la pyramide (à la base), et une valeur h pour la hauteur.

Voici les résultats (j'ai donné l'angle de coupe, qui est la moitié de l'angle entre les faces).

On remarque que pour h = 0, l'angle est de 90 ° et que pour un valeur un peu importante de h, l'angle tend rapidement vers 45°, ce qui est logique.

On a également la valeur remarquable de 60 ° pour une pyramide où la hauteur est la moitié de la base (quand la pente des faces par rapport au sol est à 45°)

Pour des valeurs intermédiaires, il suffit de faire une approximation linéaire (moyenne, règle de trois).

Le fichier téléchargeable de calcul général (angle entre deux plans) est dans la section Plans

https://www.lairdubois.fr/plan...

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Discussions

Kentaro a publié le pas à pas "Calcul des angles dièdres pour une pyramide".il y a 22 jours
sanglier
 

pour pyramide à base rectangulaire je prefere la methode rabattement d'arêtier devoyé avec le petit coup de compas par epure ou trigo

Kentaro
 

Merci pour ton commentaire. Chacun ses méthodes, mon ami... ;)

Je viens de faire les calculs pour une pyramide à base hexagonale, et dont le sommet n'est pas centré (décalé vers le coté). Donc, rien n'est symétrique. Cela m'a pris moins de 5 minutes, le temps de rentrer les données pour avoir les 6 angles dièdres, les 6 pentes, et les dimensions de chacun des 6 triangles. Et sur ma feuille de calcul, je peux modifier à tout instant la hauteur de la pyramide et le décalage du sommet et même faire une base hexagonale déformée.

Je suis très intéressé par voir comment tu ferais par le dessin à la main.

sanglier
 

j'ai beaucoup de mes realisations à base de descro etant charpentier d'apprentissage en jeunesse

Kentaro
 

Oui, c'est possible, bien sur, mais c'est très long, quand on a à déterminer tous les éléments pour les 6 faces... Avec mon petit tableur, il m'a fallu quelques minutes et en quelques secondes, je peux changer les paramètres à volonté (hauteur, décrochage) :)

ThibaultJ
 

Trouver une nouvelle applications a ces bons vieux produits vectoriels, ça c'est le genre de truc qui me fait plaisir! Merci!

ssisco
 

j'adore cet homme, merci @kentaro

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