Bonjour à tous.
Ce sujet fait suite à la discussion débutée avec Kentaro dans les commentaires d'un autre post (
Afin de déterminer la longueur d'une pièce "en biais ans deux dimensions" (cela peut être un arêtier, une sablière de pente, une noue etc...) , je proposait la méthode de l'épure, kentaro celle du calcul.
Une phrase de cette discussion m'a très fortement interpelé: à propos du théorème de Pythagore, Kentaro nous dit "c'est vrai quand on généralise dans un espace 3D ou on rajoute un terme au carré."
Bien qu'adorant la géométrie, j'ignorais que c'était possible, je trouve ça génial et ça éveille tout de suite ma curiosité.
J'ai donc fait un petit test en reprenant l'exemple d'une sablière de pente, et je cherche sa vraie grandeur sur l'épure, puis je compare avec la mesure trouvée par le calcul grâce à la formule donnée par Kentaro : "On prend les coordonnées x y z des deux points aux extrémités, et on calcule la distance AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²)"
Je retombe exactement sur la même cote, donc cela fonctionne, c'est génial, mais maintenant je me demande comment ça peut marcher?
Pour l'épure, je peux visualiser ce qui se passe et comprendre pourquoi ça marche.
En revanche, je ne comprend pas du tout comment comment cela fonctionne par le calcul.
Je comprend le théorème de Pythagore "en 2D", comme je l'ai toujours utilisé, mais je n'arrive pas à visualiser comment l'extrapoler en 3D.
Y aurait-il un matheux charitable pour essayer de m'expliquer ça?
Merci d'avance, et merci à Kentaro d'avoir partagé cette méthode.
3 réponses
Supposons un bloc de longueur L, de hauteur h, et de largeur l.
Tu veux calculer la longueur de la diagonale entre deux pointes du bloc, la pointe en bas a gauche A et la pointe en haut à droite B
Tu prends le premier triangle vertical de longueur L et hauteur h. L'hypothénuse de ce triangle égal hypot1^2 = L^2+ h^2
Ensuite, tu prend le triangle défini par les droites hypot 1 et l (triangle en biais dans l'espace)
Et à nouveau, tu fait l'hypothénuse hypot2^2 = hypot1^2 + l^2 = L^2+h^2+l^2
donc, hypot2 = racine (L^2+h^2+l^2) qui est bien la diagonale que l'on cherche
On est passé de la 2D à la 3D
Tu peux diviser le problème en deux pytagore successif :
d’abord pour obtenir ta longueur en plan qu’on peut appeler (AB)’ = sqrt((xb-xa)^2+(yb-ya)^2)
Et à partir de cette longueur re appliquer pour trouver (AB) qui est en faite l’hypotenuse d’un triangle rectangle de base (AB)’ et de hauteur zb-za. (Ce que tu as spontanément fait sur ton épure en fait pour dessiner la vrai longueur)
Donc : (AB) = sqrt((AB)’^2 +(zb-za)^2) tu développes et miracle ^^ !
Un triangle en 3D forme un plan, donc en tournant bien comme il faut la tête (plus précisément en faisant un changement de repère), tu peux te ramener à un cas 2D plan qui est bien connu.
Ça marche aussi en dimension n : L² = (x1_b - x1_a)² + (x2_b - x2_a)² + ... + (xn_b - xn_a)²
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